“초등 때까진 수학 잘했는데,
중1 올라가더니 갑자기 점수가 푹 떨어졌어요.
특히 분수, 비율, 그래프 나오면 머리가 하얘진대요.”
중학교 수학이 어려워지는 첫 지점은
생각보다 “새로운 공식”이 아니라
초등 고학년에서 한 번씩 지나간
분수·비율·함수(관계) 감각이 제대로 자리 잡았는지 여부입니다.
이 글에서는
- 왜 초등 5·6학년의 분수·비율·함수 감각이 중등 수학의 성패를 좌우하는지
- 집에서 10분이면 체크해 볼 수 있는 “우리 아이 진단 질문”
- 분수·비율·함수 각각에 대한 구체적인 보완 루틴(게임·대화·문제 연습 포함)
까지, “지금부터 뭘 어떻게 해 줄지”에 집중해서 정리해 보겠습니다.
1. 왜 하필 분수·비율·함수인가
아이들이 중학교 들어가서 제일 많이 하는 말이 있습니다.
“식은 따라 쓰겠는데, 무슨 뜻인지는 모르겠어요.”
그 “무슨 뜻인지 모르는 식”의 대부분이
사실은 초등 때 한 번씩 만났던 바로 이 세 가지입니다.
- 분수
– 중학교에서는
유리수(음수 포함) → 일차방정식·이차방정식 계수 → 함수 그래프 기울기
– 전부 분수 감각 위에 올라갑니다. - 비율(비·비례·퍼센트·속력 등)
– 중학교의
비례식, 농도, 속력, 확률, 통계(비율 비교) 문제의 뿌리입니다. - 함수(“x가 변하면 y도 같이 변한다”는 감각)
– 중1 일차함수, 좌표평면
– 중2 연립방정식, 중3 이차함수까지 쭉 이어집니다.
즉,
분수·비율·함수 감각이 튼튼하면
중등 수학의 절반은 이미 발판을 만든 셈이고,
여기서 구멍이 나면
학년이 올라갈수록 “이유 모를 수포자 느낌”이 강해집니다.
2. 현장에서 자주 보는 ‘무너지는 장면’ 4가지
아이들이 힘들어하는 장면은 생각보다 비슷합니다.
장면 1. 분수만 나오면 계산이 이상해지는 아이
- 3/4 + 2/3을
5/7이라고 쓰거나
3+2, 4+3을 따로 더해버립니다. - 2/5와 3/7 중 뭐가 더 큰지
설명을 못하고 “감”으로 찍습니다.
장면 2. 비·비율이 나오면 말이 막히는 아이
- “A반:B반 = 2:3, A반에 14명 있으면 B반은?”
소리만 들어도 멍해집니다. - 30% 할인, 20% 증가, 농도 섞기 같은 말이 나오면
숫자만 복잡해 보입니다.
장면 3. 그래프는 그릴 수 있는데, 의미는 모르는 아이
- y=2x+1 그래프는 그립니다.
- 그런데 “x가 3이면 y는?”은 풀면서
“x가 1 늘어날 때 y가 2씩 늘어난다”는 말을
자기 입으로 설명하라고 하면 막힙니다.
장면 4. 공식은 외웠는데, 문제를 보면 연결이 안 되는 아이
- “비례식은 외웠어요, 함수 식도 외웠어요.”
- 그런데 새로운 상황문제에 나오면
“이게 비례인지, 함수인지, 뭘 써야 하는지”부터 헷갈립니다.
이 네 장면이 반복되면
아이들 입에서 이런 말이 나옵니다.
“선생님이 가르쳐 준 대로는 할 수 있는데,
조금만 다르게 나오면 못 풀겠어요.”
이건 “연산 실력 부족”이 아니라
“분수·비율·함수의 의미를 연결하는 다리”가 약한 신호입니다.
3. 우리 아이 상태 점검 미니 진단(집에서 바로 가능)
종이랑 연필만 있으면
10분 안에 대략적인 상태를 볼 수 있습니다.
아이가 직접 풀고,
부모님은 “맞다/틀렸다”보다
“설명을 할 수 있는지”를 더 봐 주세요.
- 분수 감각 체크
(1) 2/3와 3/5 중 어느 쪽이 더 큰지, 그리고 왜 그런지 설명해 보게 하기
– “그냥요”가 아니라
“전체를 같은 15조각으로 나누면 10조각 vs 9조각이라서
2/3가 더 크다” 정도 말할 수 있으면 합격선입니다.
(2) 1과 2/5를 소수로, 1.4를 분수로 바꾸게 하기
– 중학교에서는 분수–소수–백분율을 자유롭게 오가야 합니다.
(3) 2와 1/3 ÷ 1/2 같은 문제를
“케이크 몇 개를 친구들에게 나눈다고 생각하면?”
이런 식으로 말로 설명할 수 있는지 들어보기.
- 비율·비례 감각 체크
(1) “사과 3개에 1500원이면, 5개는 얼마일까?”
– 1개 가격을 먼저 계산할 수 있는지
– 아니면 비례식을 바로 세울 수 있는지
(2) “80명의 25%는 몇 명일까?”
– 10%/50% 등으로 나눠서 생각할 수 있는지,
0.25×80처럼 식을 떠올릴 수 있는지
(3) “A: B = 2:3, 합이 30명일 때 A반은?”
– 비의 합(2+3=5)을 생각해 30÷5×2로 가는지
아니면 완전히 막히는지
- 함수 감각 체크(관계 생각하는 힘)
(1) x가 1, 2, 3, 4일 때
y = 2x + 1의 값을 표로 채워 보게 하기
(2) “x가 1 늘 때 y는 얼마나 늘어?”
라고 물었을 때
“2씩 늘어요”라고 답할 수 있는지
(3) “시간이 1시간 늘수록 거리는 60km씩 늘어나는 상황”을
숫자 표로 적어 보게 하기
(0시간, 1시간, 2시간, 3시간…)
위 문제에서
- 답은 맞는데, “왜?”를 설명 못 한다
- 표는 채우는데, “얼마씩 늘어나냐”를 말 못 한다
이런 경우가 많다면
지금이 분수·비율·함수 감각을 다시 세워 줄 타이밍입니다.
4. 분수 감각 보완법: “분수=이야기+그림+수직선” 세트로
분수는
“작은 숫자 장난”이 아니라
“나누기·비율·함수”까지 이어지는 기본 언어입니다.
- 분수의 크기 감각부터 되살리기
집에서 바로 할 수 있는 활동
- 종이 피자 자르기
원을 그려 2조각, 3조각, 4조각으로 나눠 보고,
1/2, 1/3, 1/4을 실제로 색칠하게 합니다.
“어느 쪽이 더 많이 차지해?”를 눈으로 비교하게 해 주세요. - 수직선 위에 분수 올리기
0과 1 사이에 1/2, 1/3, 2/3, 3/4를
대충이라도 위치 찍어보게 합니다.
“1에 더 가까운 건 누구?”를 물어보세요. - “어느 게 더 많을까?” 게임
3/5와 4/7 같은 문제를 주고
되도록 통분하지 말고
“각각 35조각으로 보면 어때?”처럼
이야기로 설명하게 해 보세요.
- 분수 계산은 “정답”보다 “말로 설명”을 우선
예를 들어,
3/4 ÷ 1/2 문제를 풀 때
- 그냥 공식대로
3/4 × 2/1 = 6/4
이렇게만 하지 말고, - “3/4짜리 피자를 1/2씩 나누면 몇 명이 먹을 수 있어?”
“한 사람당 1/2개 줄 거니까,
3/4 ÷ 1/2 = 1과 1/2명분(=1.5명분)이야.”
이 말을 아이 입에서 한 번이라도 나오게 하면
계산 실수는 훨씬 줄어듭니다.
- 15분 분수 루틴 예시(주 3회만 해도 효과)
- 5분: 분수 비교 게임 3문제
예) 2/3 vs 3/4, 5/6 vs 4/5, 2/5 vs 1/3
왜 더 큰지 말로 설명하기 - 5분: 분수–소수–백분율 바꾸기
예) 1/2, 1/4, 3/4, 2/5, 4/5
→ 0.5 → 50% 이런 식으로 양방향 - 5분: “이야기 만들기”
분수 하나를 골라
“어떤 상황에서 이 분수가 나오는지” 간단히 말해 보기
예) 3/4 → “1시간 중 45분만 공부했을 때” 등
5. 비율·비례 보완법: “1단위당 얼마”를 몸에 익히기
비율·비례에서 흔한 오해는
“비례식은 그냥 공식(가위바위보처럼)으로 푼다”입니다.
실제로 필요한 감각은
- “한 단위당 얼마나?”
- “같은 비율로 늘고 줄면 어떻게 되지?”
입니다.
- “1개당 얼마” 말로 자꾸 묻게 하기
예시 질문
- “사과 3개에 1500원이면, 사과 1개는 얼마야?”
(1500 ÷ 3) - “물 2L에 시럽 1컵을 섞었으면,
물 1L에는 시럽이 얼마만큼 들어간 걸까?”
이 질문을 자연스럽게 받으면
나중에
- 3:5 비
- 속력(거리/시간)
- 밀도(질량/부피)
문제까지 자연스럽게 이어집니다.
- 비례식은 “표→식→검산” 세 단계로
예시
“사과 3개 1500원, 5개는 얼마?”
- 표로 먼저 정리
사과 수: 3 → 5
금액: 1500 → ? - 그다음 비례식
1500 : x = 3 : 5 - 검산
1개당 가격은 500원 → 5개면 2500원
비례식 결과와 같은지 확인
아이에게는
“표를 먼저 그리면, 식은 실수해도 다시 잡을 수 있다”
라고 설명해 주세요.
- 퍼센트는 “100개 중 몇 개”부터
- 25%는 “100개 중 25개”
- 30%는 “10개 중 3개”
이런 식으로 단순한 그림부터 잡아주고,
점점
- 80의 25% → “80을 4등분해서 한 몫”
- 30% 할인 → “원래 가격의 70% 내는 것”
까지 말로 설명하는 연습을 시켜야
중학교 농도·할인·증가 문제를 버팁니다.
- 15분 비율 루틴 예시(주 2~3회)
- 5분: “1개당 얼마/1L당 얼마” 문제 3개
- 5분: 비례식 한 문제(표 먼저 그리기)
- 5분: 퍼센트 일상 문제 1개(할인/세일/출석률 등)
→ 반드시 말로 이유 설명하기
6. 함수 감각 보완법: x–y 표만 잘 그려도 반은 성공
초등 교과서에도
이미 “함수의 씨앗”이 숨어 있습니다.
- “규칙 찾기”
- “자리값이 바뀌면 값이 어떻게 바뀌는지”
- “하루가 지날 때마다 나무의 키가 얼마나 자라는지” 같은 활동들
중학교 가서 갑자기 힘들어지는 아이들은
대부분 “관계”를 표로 정리해 본 경험이 부족합니다.
- “늘어나는 만큼”을 말로 설명하게 하기
예시 활동
- “x에 1, 2, 3, 4를 넣으면
y=2x+1은 얼마가 될까?”
→ 표 그리기x: 1, 2, 3, 4
y: 3, 5, 7, 9 - 그다음 질문
“x가 1씩 늘어날 때, y는 얼마씩 늘어?”
→ “2씩이요!”
이 한 마디가
일차함수의 기울기 감각입니다.
- 생활 속에서 “함수 놀이” 해 보기
- 출발 시간–도착 시간–거리
- 문제를 푼 개수–걸린 시간
- 저금통 돈–저금한 날짜
이런 걸 가지고
“날짜가 하루 늘어날 때마다
얼마씩 늘어나?”
라고 자꾸 물어보면
관계 감각이 자연스럽게 생깁니다.
- 간단 그래프까지 연결하기
- x를 0, 1, 2, 3으로 놓고
y=2x, y=2x+1 같은 걸 표로 만든 뒤
종이에 점 몇 개 찍어 보게 하세요. - “직선이 오른쪽 위로 올라가네?
x가 커질수록 y도 커지는 관계네.” - 여기까지만 익숙해도
중1 때 함수 단원이 한결 편해집니다.
- 15분 함수 루틴 예시(주 2회)
- 5분: 숫자 표 채우기(규칙 찾기)
- 5분: “얼마씩 늘어나는지” 말로 설명
- 5분: 그래프 혹은 연결되는 상황 이야기 만들기
7. 4주 보완 계획 샘플(분수·비율·함수 통합)
“방학 4주 동안 어느 정도까지?” 감이 안 오실 수 있어서
샘플 로드맵을 한 번 그려볼게요.
(학원·가정 상황에 맞게 줄이고 늘리시면 됩니다.)
1주차: 분수 크기 감각 + 분수–소수–퍼센트 변환
2주차: 분수 사칙연산 복습(특히 덧셈·뺄셈·곱셈)
3주차: 비·비율·비례식 + 1개당 얼마, 퍼센트
4주차: 규칙 찾기, x–y 표, 간단한 그래프 그리기
평일 기준 하루 30~40분만 이 주제에 투자해도
중학교 올라가서 느끼는 “수학 언어 장벽”이 크게 줄어듭니다.
8. 학부모 체크리스트
(우리 아이, 분수·비율·함수에서 어디가 제일 약한가?)
아래 질문들을 보면서
아이에게 직접 물어보거나,
가볍게 함께 풀어 보세요.
분수
- 2/3와 3/5 중 어느 쪽이 더 큰지,
“왜 그런지” 설명할 수 있는가? - 1과 3/4, 1.75, 175% 사이의 관계를 말로 설명할 수 있는가?
- 3/4 ÷ 1/2를
“케이크 나누기” 같은 상황으로 말해 볼 수 있는가?
비율
- “사과 3개 1500원, 5개는 얼마?” 문제를
표를 먼저 그려 놓고 풀 수 있는가? - “80명의 25%는 몇 명?”을
80×0.25 또는 80÷4로 연결해 생각할 수 있는가? - “A:B=2:3, 합이 30명” 문제에서
2+3=5, 30÷5라는 생각을 떠올릴 수 있는가?
함수
- x가 1,2,3,4일 때
y=2x+1의 값을 표로 채울 수 있는가? - “x가 1씩 늘 때 y가 2씩 늘어난다”는 말을
직접 할 수 있는가? - “시간이 늘어날수록 거리가 늘어나는 상황”을
표로 적어 볼 수 있는가?
3~4개 이상 막힌다면
이번 겨울이나 학기 중 방학 때
그 영역을 한 번 “집중 보완 주간”으로 잡아주시면 좋습니다.
9. 비용 많이 안 들이고 할 수 있는 보완 도구들
굳이 비싼 선행 프로그램이나
특별 교재가 없어도 괜찮습니다.
- 학교 교과서·익힘책:
이미 분수·비율·규칙 단원이 잘 정리되어 있습니다.
틀렸던 문제, 헷갈렸던 예제만 다시 풀어도 큰 도움이 됩니다. - 공공 무료 강의(EBS 초등, 중학 예비 과정):
“분수 기초, 비례식, 일차함수 맛보기” 같은 강의들이 있어
짧게 필요한 부분만 골라 들어도 좋습니다. - 엄마표/아빠표 미니 활동
– 요리할 때 레시피 비율 바꾸기
– 마트 전단지로 할인율 계산해 보기
– 저금통 돈 기록해서 날짜–금액 표 만들기
핵심은
“일상 속 숫자”를
분수·비율·함수의 언어로 자꾸 바꿔 보는 경험입니다.
10. 오늘 집에서 딱 한 가지만 해본다면
오늘 저녁,
아이와 종이 한 장만 놓고
이렇게 해보세요.
- 분수 2개 아무거나 써 주세요.
예를 들어 3/4, 5/8. - 이렇게 물어보세요.
“둘 중에 뭐가 더 크다고 생각해?
그리고 왜 그런지,
엄마/아빠가 이해할 수 있게 설명해 줄래?”
아이가 설명을 잘 못해도 괜찮습니다.
대신 “왜 그런지 말해 보는 경험” 자체가
분수·비율·함수 감각을 살리는 첫걸음입니다.
그다음부터
일주일에 두 번만이라도
“분수·비율·함수 놀이” 시간을
10~20분씩 붙여 보세요.
중학생이 되었을 때
새로운 공식을 배우는 속도보다
“숫자 사이 관계를 보는 눈”이
우리 아이 수학 성적을 더 오래 버텨주게 될 겁니다.